Число: определение, виды и значение в математике

В Европе отрицательные числа ввел в употребление в XVII в. Изучение понятия непрерывности в работах немецких математиков Дедекинда, Кантора, Вейерштрасса привело к дальнейшему уточнению понятия числа и его свойств. Развитие теории алгебраических уравнений привело (XVIII в.) к понятию комплексного числа.

Отличия чисел от цифр

Например, цены на продукты в магазине, массу и габариты предметов вокруг нас, возраст людей, расстояние между городами и т. Но начинается все именно со счета, точнее с устного счета.Без чисел было бы весьма затруднительно ввести градацию чего-либо, сложно было бы производить сравнения. Например, если бы не было меры массы тела в граммах, выражающейся конкретным числом грамм, то люди бы описывали предметы только как легкие, более легкие, тяжелые, очень тяжелые, чрезвычайно тяжелые и т. Это бы значительно затруднило общий прогресс и развитие человеческой цивилизации. Кант считал, что явление познано тогда, когда оно сконструировано в соответствии с априорными понятиями — формальными условиями опыта. Число задаёт конкретный принцип или схему конструирования.

Основные числовые множества

Значение комплексных чисел особенно возросло в XIX веке в связи с развитием теории функций комплексного переменного. С развитием алгебры возникла необходимость введения комплексных чисел, хотя недоверие к закономерности пользования ими долго сохранялось и отразилось в сохранившемся до сих пор термине «мнимое». Уже у итальянских математиков XVI века (Дж. Кардано, Р. Бомбелли), в связи с открытием алгебраического решения уравнений третьей и четвёртой степеней, возникла идея комплексного числа. Дело в том, что даже решение квадратного уравнения, в том случае, если уравнение не имеет действительных корней, приводит к действию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

Для представления натурального числа в памяти компьютера, оно обычно переводится в двоичную систему счисления. Для представления отрицательных чисел часто используется дополнительный код числа, который получается путём прибавления единицы к инвертированному представлению модуля данного отрицательного числа в двоичной системе счисления. Комплексные числа , являющиеся расширением множества действительных чисел.

В «Началах» Евклид устанавливает безграничную продолжаемость ряда простых чисел. Здесь же Евклид определяет число как «множество, составленное из единиц». Архимед в книге «Псаммит» описывает принципы для обозначения сколь угодно больших чисел. Число́ — основное понятие математики, используемое для количественной характеристики, сравнения и нумерации объектов. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа с развитием науки значительно расширилось.

Введение отрицательных чисел

Аристотель свидетельствует, что пифагорейцы считали числа «причиной и началом» вещей, а отношения чисел — основой всех отношений в мире. Числа придают миру упорядоченность и делают его космосом. Такое отношение к числу было принято Платоном, а позже неоплатониками. Платон при помощи чисел различает подлинное бытие (то, что существует и мыслится само по себе) и неподлинное бытие (то, что существует лишь благодаря другому и познаётся только в отношении).

Произношение чисел

Со временем начинают применяться действия над числами, сначала сложение и вычитание, позже умножение и деление. Когда стали разрабатывать правила действий, изучать их свойства и создавать методы решения задач, тогда начинает развиваться арифметика — наука о числах. Тогда появляется раздел математики, который сейчас называется теория чисел. Только к середине XIX века под влиянием развития математического анализа и аксиоматического метода в математике, назрела необходимость обоснования понятия количественного натурального числа. Введение в употребление дробных чисел было вызвано потребностью производить измерения и стало исторически первым расширением понятия числа.

Представленная информация сопровождается примерами для лучшего понимания.
Сейчас говорят о кардинальных числах, которые описывают множества из любого числа элементов — конечного или бесконечного.
Когда в Индии появилась позиционная система счисления, позволяющая записать любое натуральное число при помощи десяти знаков (цифр), это стало большим достижением человека.
В «Началах» Евклид устанавливает безграничную продолжаемость ряда простых чисел.
На объём же памяти ЭВМ накладываются физические ограничения.

Письменными знаками (символами) для записи чисел служат цифры. Считать предметы число фибоначчи это человек умел ещё в глубокой древности, тогда и возникло понятие натурального числа. На первых ступенях развития понятие отвлечённого числа отсутствовало. В те времена человек мог оценивать количества однородных предметов, называемых одним словом, например «три человека», «три топора». При этом использовались разные слова «один» «два», «три» для понятий «один человек», «два человека», «три человека» и «один топор», «два топора», «три топора». Это показывает анализ языков первобытных народностей.

Это показывает анализ языков первобытных народностей.
В данной публикации мы рассмотрим определение числа, перечислим его основные виды и отличия от цифры, разберем принцип образования чисел и их произношение.
Необходимость введения отрицательных чисел была связана с развитием алгебры как науки, дающей общие способы решения арифметических задач, независимо от их конкретного содержания и исходных числовых данных.

Оно придаёт меру и определённость вещам и делает их причастными бытию. Благодаря числу вещи могут быть подвергнуты пересчёту и поэтому они могут быть мыслимы, а не только ощущаемы. Неоплатоники, особенно Ямвлих и Прокл, почитали числа столь высоко, что даже не считали их сущими — устроение мира исходит от числа, хотя и не непосредственно. Числа сверхсущны, пребывают выше Ума, и недоступны знанию. Неоплатоники различают божественные числа (прямую эманацию Единого) и математические числа (составленные из единиц). Гаусса, комплексные числа были признаны математиками и начали играть существенную роль не только в алгебре, но и в математическом анализе.

С развитием науки и математики в частности, была придумана десятичная система счисления, содержащая цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, которые называются арабскими. К слову, данная система применяется по сей и является самой распространенной. Письменными знаками для обозначения чисел служат цифры, а также символы математических операций. Все дальнейшие расширения понятия числа уже не были более вызваны потребностями счета и измерения, а явились следствием развития науки. Первым из них было введение отрицательных чисел, обусловленное развитием алгебры.

Появление письменности

В связи с этим в ЭВМ мы имеем дело не с числами в математическом смысле, а с некоторыми их представлениями, или приближениями. Для представления чисел отводится некоторое определенное число ячеек (обычно двоичных, бит - от BInary digiT) памяти. В случае, если в результате выполнения операции полученное число должно занять больше разрядов, чем отводится в ЭВМ, происходит так называемое переполнение, и должна быть зафиксирована ошибка.

Специальные числа: Пи, e

Кватернионы представляющие собой разновидность гиперкомплексных чисел. Кватернионы в отличие от комплексных чисел не коммутативны относительно умножения. Однако это число появляется в различных математических результатах, в которых ни о какой окружности речи не идёт.

Первым обобщением натуральных чисел были дробные числа, возникшие в связи с потребностью производить измерения какой-либо величины, что заключается в сравнении ее с какой-либо другой величиной — эталоном. С введением понятий сложения, вычитания, умножения и деления начинает развиваться наука о числах и действиях над ними — арифметика. Изучение глубоких закономерностей в натуральном ряду чисел продолжается до настоящего времени и составляет теорию чисел.